વિકલ સમીકરણ y^2 dx + (x - frac{1}{y}) dy = 0 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y^2 dx + x dy = \frac{1}{y} dy$ મળે છે.$y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{2} - \frac{1}{\sqrt{e}}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ છે.પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y^2 dx + x dy = \frac{1}{y} dy$ મળે છે.$y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે.આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y^2}$ અને $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y^2} dy} = e^{-\frac{1}{y}}$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot e^{-\frac{1}{y}} = \int \frac{1}{y^3} e^{-\frac{1}{y}} dy + C$ છે.ધારો કે $t = -\frac{1}{y}$,તો $dt = \frac{1}{y^2} dy$. વળી,$\frac{1}{y} = -t$.આ કિંમતો મૂકતા,$\int (-t) e^t dt = - (t e^t - e^t) = e^t(1 - t) = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y})$ મળે છે.આમ,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) + C$.આપેલ છે કે $x=1$ ત્યારે $y=1$,તેથી $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$.તેથી,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) - e^{-1}$.$y=2$ માટે,$x e^{-1/2} = e^{-1/2}(1 + 1/2) - e^{-1} = \frac{3}{2} e^{-1/2} - e^{-1}$.$e^{-1/2}$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{3}{2} - e^{-1/2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{\sqrt{e}}$ મળે છે.

વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ ધ્યાનમાં લો. જો $x = 1$ હોય ત્યારે $y$ નું મૂલ્ય $1$ હોય,તો $y = 2$ હોય ત્યારે $x$ નું મૂલ્ય શોધો:

Similar Questions

ધારો કે $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી તમામ $x \in(0, \infty)$ માટે $f^{\prime}(x)=2-\frac{f(x)}{x}$ અને $f(1) \neq 1$ છે. તો

ધારો કે $f$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $2(x+2)^2 f(x) - 3(x+2)^2 = 10 \int_0^x (t+2) f(t) dt$,$x \geq 0$ માટે. તો $f(2)$ ની કિંમત . . . . . . છે.

ધારો કે $f(x)$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ પર વિકલનીય છે જેથી $f(1)=1$,અને દરેક $x>0$ માટે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$ છે. તો $f(x)$ શું છે?

$\cos y + (x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+x) \frac{dy}{dx} - xy = 1-x$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module